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Massa, velocità, energia. La formula più famosa del mondo e il teorema di Pitagora Ottobre 28, 2008

Inviato da Marco in : Divulgazione, Fisica, Formulette , 44 commenti

Secondo articoletto della categoria Formulette (e pazienza per la radiazione di sincrotrone che avevo promesso: sarà per un’altra volta). Oggi vi propongo di giocare un po’ con la formula di fisica più famosa del mondo. Che - credo sarete d’accordo - è senza dubbio questa:

E = m c^{2}

La si trova dappertutto (insieme al faccione irriverente dell’Einstein degli ultimi anni), simbolo dei trionfi (e anche dei disastri, se pensate all’energia nucleare) della fisica moderna del 900.Cosa dice questa formula? Ci rivela la geniale scoperta di Einstein: un corpo di massa m a riposo è un incredibile serbatoio di energia E, che può essere calcolata come il prodotto della sua massa m per il quadrato della velocità della luce c.

Quello che è un peccato è che la formula più famosa del mondo - così come è scritta lassù - ha almeno due difetti. Primo, vale solo per corpi a riposo: appena ci si sposta in un sistema di riferimento in cui il corpo in questione si muove, beh, non vale più (tra un minuto vediamo perché questo è un bel limite alla comprensione); la formula generale, quella che vale per un corpo qualunque sia la sua velocità v, è questa:

E = \frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

che è di certo meno facile da mettere sulle magliette o negli spot pubblicitari. Secondo, usa delle unità di misura innaturali, che aggiungono una complicazione probabilmente inutile alla formula, e, di nuovo, alla comprensione.

Iniziamo dalle unità di misura. La relatività speciale di Einstein ci dice che nulla si può muovere a una velocità maggiore di quella della luce c. A pensarci bene, se esiste una velocità limite, allora sarebbe sensato misurare ogni velocità in termini di questa velocità massima. Avrebbe molto più senso (perlomeno quando si fa fisica, forse non in autostrada) dire che un corpo viaggia a un centesimo della velocità della luce, piuttosto che a 3000 chilometri al secondo. Se decidiamo di usare questa convenzione (come tutti i fisici delle particelle fanno), possiamo ribattezzare la velocità come:

\beta = \frac{v}{c}

Se un corpo viaggia alla velocità della luce, avrà \beta=1. Se va a 3000 chilometri al secondo, avrà \beta=0.01. E naturalmente misurare le velocità in unità di c equivale a dire che c=1, per cui la nostra formula iniziale (quella che vale per tutte le velocità) diventa:

E = \frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}

Un po’ più semplice, no? Siccome \beta non ha dimensioni (nel senso che è un numero puro, senza unità di misura), il trucchetto ci permette di misurare le masse e le energie (e i momenti, come vedremo tra un attimo) nella stessa unità di misura (scegliete voi quelle che vi piacciono: ai fisici delle particelle piacciono gli elettronvolt). Adesso facciamo un po’ di magia con l’algebra (ce la potete fare!). In relatività il momento di un corpo si calcola come p = E \beta, per cui se manipolate un po’ l’ultima formuletta (fate il quadrato, moltiplicate a destra e sinistra per \sqrt{1-\beta^2}, …) potete ottenere questa qui:

E^2 = m^2 + p^2

che, detto tra noi, dovrebbe prendere il posto di formula più famosa del mondo!

E adesso, non sentite un formicolio dietro alle orecchie? Sono sicuro di si! Cosa vi ricorda l’ultima formula che abbiamo scritto? Dai, un piccolo sforzo… ma certo: il teorema di Pitagora! Eh si, possiamo scrivere la formula più importante della relatività ristretta come fosse il teorema di Pitagora. Ganzo! Provate a dirlo ad alta voce: il quadrato dell’energia di un corpo è uguale alla somma dei quadrati della sua massa e del suo momento.

Che cosa possiamo imparare da questa filastrocca? Guardate questa figura:

Nel caso (1) il corpo è fermo: la sua energia è completamente determinata dalla sua massa. Se il corpo in questione si muove (per esempio si tratta di Oliver che va a spasso) ha un momento molto più piccolo della sua massa (2), e la sua energia è ancora quasi completamente determinata dalla sua massa solamente. E’ il caso dei movimenti di tutti i giorni, della fisica classica: piccole velocità e grandi masse. Ma se il momento della particella è molto più grande della sua massa (2) come nel caso delle particelle negli acceleratori (che sono leggere, almeno rispetto a Oliver) che viaggiano a velocità prossime a quelle della luce, beh, l’energia della particella è praticamente tutta determinata dalla sua velocità! E nel caso estremo di particelle senza massa (4) come il fotone, beh, queste viaggiano sempre… alla velocità della luce.

Adesso provate a usare questa figura per capire che cosa succede in un acceleratore di particelle. Prendete due particelle leggerine (diciamo sue protoni, come in LHC) e acceleratele a velocità prossime a quella della luce: siete nella condizione (3). Poi le fare sbattere l’una contro l’altra, e, come già sapete, avete a disposizione nello scontro la somma delle energie. Ovvero un’ipotenusa blu bella lunga. Adesso immaginate che nello scontro saltiate dalla condizione (3) a quella (2) (o anche (1), se volete): con l’energia a disposizione potete produrre particelle moooolto più pesanti (con un cateto verde molto più lungo), ma che si muovono decisamente più piano (un cateto rosso più corto). Questo è quello che fanno i collisionatori: trasformano energia cinetica (che è facile accumulare, accelerando particelle leggere) in massa. Producendo particelle più pesanti di quelle di partenza! E, naturalmente, potreste farlo anche saltando da (4) a (2), usando due fotoni energetici per produrre particelle massive. Non è forte?

Un grazie a L.B Okun a cui ho preso in prestito l’idea del teorena di Pitagora. Questo articoletto é un regalo per Anna, che si sbatte per poter insegnare la fisica (moderna e non) alle scuole superiori.

Una particella contro l’altra Settembre 28, 2008

Inviato da Marco in : Fisica, Formulette , 34 commenti

Per un sacco di tempo mi sono ripromesso di parlare di fisica su queste paginette in modo semplice, metaforico e assolutamente senza traccia di matematica. Beh, mi sono reso conto che non si può. O meglio, certo, si può, ma si perde un sacco del divertimento (ebbene si, la matematica può essere divertente. O meglio, la matematica è divertente! Prima o poi ve lo dimostrerò); eppoi nei commenti delle ultime settimane sono saltate fuori delle domande troppo specifiche perché si possa rispondere dignitosamente senza tirare fuori una formuletta. E allora - udite udite! - ho deciso di rompere gli indugi e di inaugurare una nuova categoria di articoli, battezzata per l’occasione Formulette: non siete contenti? :-)

Istruzioni per l’uso: non vi aspettate una derivazione completa delle formule (per questo, fanciulli, ci sono i libri) né un corso di fisica per corrispondenza. E che sia chiaro: non mi assumo nessuna responsabilità se qualche lettore, nel tentare di usare le formule citate per migliorare le sue prestazioni amorose, guarire dall’alitosi, costruirsi in casa un piccolo acceleratore di biglie o per qualunque altro uso improprio, dovesse rimanere ferito, deluso, offeso o affaticato. Siete avvisati.

Allora, da cosa cominciamo? Apparentemente qualcuno è rimasto confuso leggendo i miei divagazioni sulla partenza di LHC a proposito delle energie dei fasci e delle energie delle collisioni. Come sono correlate tra di loro? Come si fanno i conti, tentendo conto che le particelle in questione viaggio (quasi) alla velocita della luce? Ecco la risposta.

Nella collisione di due particelle di massa m_1 e m_2 e momento \vec{p}_1 e \vec{p}_2 l’energia totale nel centro di massa (cioè quel particolare sistema di riferimento in qui le due particelle hanno momento uguale ed opposto \vec{p}_1 = - \vec{p}_2, il “baricentro” della collisione insomma) vale:

E_{\rm CM} = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2 \left( E_1 E_2 - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 \right)}

dove E_1 ed E_2 sono le energie totali delle particelle in questione.

Notarella: i fisici sono notoriamente pigri, e per facilitarsi la vita usano spesso una convenzione in cui la velocità della luce è posta uguale a 1. Il vantaggio? Adesso energie, momenti e masse sono tutti misurati nella stessa unità (tipicamente l’eV), e nei calcoli non si sono fastidiosi fattori c da portarsi dietro.

Nel caso di collisioni ad alta energia ultra-relativistiche - come a LHC - le energie delle particelle (a LHC 7 TeV) sono moooolto piu grandi delle loro masse (la massa di un protone è 1 GeV) e siamo autorizzati ad approssimare: nel centro di massa della collisione vale dunque la formuletta facile facile:

E_{\rm CM} \simeq 2 E_1 \simeq 2 E_2

Ecco che si svela l’arcano: due fasci da 450 GeV danno collisioni con energia nel centro di massa di 900 GeV, due fasci da 7 TeV danno collisioni da 14 TeV.

Naturalmente la situazione sarebbe un po’ diversa se invece di fare sbattere un protone accelerato contro un altro protone accelerato nel verso opposto lo mandassimo contro un bersaglio fisso. In questo caso il momento del bersaglio sarebbe nullo (\vec{p}_2 = 0) e l’energia disponibile nella collisione (sempre nell’approssimazione di particelle ultra-relativistiche) sarebbe soltanto:

E_{\rm CM} \simeq \sqrt{2 E_1 m_2}

Il che vi spiega perché siano necessari i collisionatori (le macchine come LHC che fanno sbattere due fasci l’uno contro l’altro) per salire in energia: un solo fascio contro un bersaglio fisso mette a disposizione molta meno energia!

Per chi volesse approfondire, questo è il riassunto più breve che conosco della cinematica relativistica (anche se non necessariamente il più semplice). Al prossimo giro, a grande richiesta, la radiazione di sincrotrone. Ovvero: quanta energia perde una particella carica che corre lungo una traiettoria circolare? Buonanotte, e buona fortuna.