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Massa, velocità, energia. La formula più famosa del mondo e il teorema di Pitagora Ottobre 28, 2008

Inviato da Marco in : Divulgazione, Fisica, Formulette , 44 commenti

Secondo articoletto della categoria Formulette (e pazienza per la radiazione di sincrotrone che avevo promesso: sarà per un’altra volta). Oggi vi propongo di giocare un po’ con la formula di fisica più famosa del mondo. Che - credo sarete d’accordo - è senza dubbio questa:

E = m c^{2}

La si trova dappertutto (insieme al faccione irriverente dell’Einstein degli ultimi anni), simbolo dei trionfi (e anche dei disastri, se pensate all’energia nucleare) della fisica moderna del 900.Cosa dice questa formula? Ci rivela la geniale scoperta di Einstein: un corpo di massa m a riposo è un incredibile serbatoio di energia E, che può essere calcolata come il prodotto della sua massa m per il quadrato della velocità della luce c.

Quello che è un peccato è che la formula più famosa del mondo - così come è scritta lassù - ha almeno due difetti. Primo, vale solo per corpi a riposo: appena ci si sposta in un sistema di riferimento in cui il corpo in questione si muove, beh, non vale più (tra un minuto vediamo perché questo è un bel limite alla comprensione); la formula generale, quella che vale per un corpo qualunque sia la sua velocità v, è questa:

E = \frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

che è di certo meno facile da mettere sulle magliette o negli spot pubblicitari. Secondo, usa delle unità di misura innaturali, che aggiungono una complicazione probabilmente inutile alla formula, e, di nuovo, alla comprensione.

Iniziamo dalle unità di misura. La relatività speciale di Einstein ci dice che nulla si può muovere a una velocità maggiore di quella della luce c. A pensarci bene, se esiste una velocità limite, allora sarebbe sensato misurare ogni velocità in termini di questa velocità massima. Avrebbe molto più senso (perlomeno quando si fa fisica, forse non in autostrada) dire che un corpo viaggia a un centesimo della velocità della luce, piuttosto che a 3000 chilometri al secondo. Se decidiamo di usare questa convenzione (come tutti i fisici delle particelle fanno), possiamo ribattezzare la velocità come:

\beta = \frac{v}{c}

Se un corpo viaggia alla velocità della luce, avrà \beta=1. Se va a 3000 chilometri al secondo, avrà \beta=0.01. E naturalmente misurare le velocità in unità di c equivale a dire che c=1, per cui la nostra formula iniziale (quella che vale per tutte le velocità) diventa:

E = \frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}

Un po’ più semplice, no? Siccome \beta non ha dimensioni (nel senso che è un numero puro, senza unità di misura), il trucchetto ci permette di misurare le masse e le energie (e i momenti, come vedremo tra un attimo) nella stessa unità di misura (scegliete voi quelle che vi piacciono: ai fisici delle particelle piacciono gli elettronvolt). Adesso facciamo un po’ di magia con l’algebra (ce la potete fare!). In relatività il momento di un corpo si calcola come p = E \beta, per cui se manipolate un po’ l’ultima formuletta (fate il quadrato, moltiplicate a destra e sinistra per \sqrt{1-\beta^2}, …) potete ottenere questa qui:

E^2 = m^2 + p^2

che, detto tra noi, dovrebbe prendere il posto di formula più famosa del mondo!

E adesso, non sentite un formicolio dietro alle orecchie? Sono sicuro di si! Cosa vi ricorda l’ultima formula che abbiamo scritto? Dai, un piccolo sforzo… ma certo: il teorema di Pitagora! Eh si, possiamo scrivere la formula più importante della relatività ristretta come fosse il teorema di Pitagora. Ganzo! Provate a dirlo ad alta voce: il quadrato dell’energia di un corpo è uguale alla somma dei quadrati della sua massa e del suo momento.

Che cosa possiamo imparare da questa filastrocca? Guardate questa figura:

Nel caso (1) il corpo è fermo: la sua energia è completamente determinata dalla sua massa. Se il corpo in questione si muove (per esempio si tratta di Oliver che va a spasso) ha un momento molto più piccolo della sua massa (2), e la sua energia è ancora quasi completamente determinata dalla sua massa solamente. E’ il caso dei movimenti di tutti i giorni, della fisica classica: piccole velocità e grandi masse. Ma se il momento della particella è molto più grande della sua massa (2) come nel caso delle particelle negli acceleratori (che sono leggere, almeno rispetto a Oliver) che viaggiano a velocità prossime a quelle della luce, beh, l’energia della particella è praticamente tutta determinata dalla sua velocità! E nel caso estremo di particelle senza massa (4) come il fotone, beh, queste viaggiano sempre… alla velocità della luce.

Adesso provate a usare questa figura per capire che cosa succede in un acceleratore di particelle. Prendete due particelle leggerine (diciamo sue protoni, come in LHC) e acceleratele a velocità prossime a quella della luce: siete nella condizione (3). Poi le fare sbattere l’una contro l’altra, e, come già sapete, avete a disposizione nello scontro la somma delle energie. Ovvero un’ipotenusa blu bella lunga. Adesso immaginate che nello scontro saltiate dalla condizione (3) a quella (2) (o anche (1), se volete): con l’energia a disposizione potete produrre particelle moooolto più pesanti (con un cateto verde molto più lungo), ma che si muovono decisamente più piano (un cateto rosso più corto). Questo è quello che fanno i collisionatori: trasformano energia cinetica (che è facile accumulare, accelerando particelle leggere) in massa. Producendo particelle più pesanti di quelle di partenza! E, naturalmente, potreste farlo anche saltando da (4) a (2), usando due fotoni energetici per produrre particelle massive. Non è forte?

Un grazie a L.B Okun a cui ho preso in prestito l’idea del teorena di Pitagora. Questo articoletto é un regalo per Anna, che si sbatte per poter insegnare la fisica (moderna e non) alle scuole superiori.

La statistica degli eventi improbabili spiegata a Oliver Ottobre 12, 2008

Inviato da Marco in : Divulgazione, Fisica, Scienza con Oliver, Scienza e dintorni , 45 commenti

Da qualche giorno Oliver mi guarda in cagnesco. In teoria non dovrebbe essere un problema, perché Oliver è a tutti gli effetti un cane. Il punto è che Oliver ha passato i suoi primi mesi di vita con una gatta, e questo lo ha piuttosto “felinizzato”. Chiariamoci, è sempre incredibilmente lineare, fedele e scemotto come un cane. Però saltella come un gatto quando caccia, e guarda in cagnesco solo in due casi: vuole assolutamente giocare a “tirami l’osso ed io ringhio feroce”, oppure è preoccupato. Le preoccupazioni di Oliver comprendono l’eccessiva vicinanza di qualcuno alla sua ciotola, un infante nella sua cuccia, o la sparizione di uno dei padroni per più di cinque minuti. Ma oggi sembra esserci qualcosa di nuovo. “Cosa c’è?  Sputa il rospo!” “Non mangio rospi da quella gita in montagna…”  “Uff” “Beh, anche se sono un cane a volte ascolto quello che si dice in giro. Tu stai costruendo un macchinone che ci ucciderà tutti. Si, insomma, quell’acceleratore elleaccacci a cui lavori, dicono che potrebbe distruggere il mondo con un buco nero o con qualche altra terribile cosa… ” (Oliver è un cane pavido) “… puoi garantirmi che la cosa è sicura, che non c’è pericolo?”.

Ahi ahi ahi, come faccio questa volta? Con il bosone di Higgs me l’ero cavata con la storia della melassa, ma questa volta mi tocca tirare in ballo la statistica, e statistica vuol dire numeri: Oliver sa contare, ma non gli piace farlo. Vabbé, proviamo.

Allora, Oliver, ascolta, ci sono due cose importanti che devi cercare di capire (Oliver assume la sua consueta faccia concentrata). La prima è questa: la scienza non può garantire nulla in modo assoluto. Non può dire “mai”, o “sempre” (lampo di terrore negli occhi di Oliver. Io continuo imperterrito). Per esempio, nella vita comune diciamo che la tua razione si pappa quotidiana (di nuovo rilassato e attento, conosco il mio pollo!) pesa 400 grammi. In realtà il massimo che la scienza può dire è che - con una certa probabilità - il peso della tua pappa è contenuto in un intervallo centrato sul valore di 400 grammi; intervallo che ha una larghezza che dipende da tanti fattori, ma principalmente dalla bilancia che abbiamo usato per pesare la pappa. Nella vita quotidiana questo intervallo è sufficientemente piccolo rispetto al peso totale della tua pappa, e finisce che ce ne dimentichiamo e usiamo solo il valore centrale. Allo stesso modo, la scienza non può mai dire che un avvenimento non avverrà mai, perché sappiamo solo calcolare la probabilità di un avvenimento (e in certi casi non ne siamo neanche capaci, ma di questo parliamo dopo). Tu capisci che cosa è la probabilità di un avvenimento, vero?

Se dico che hai il 50% di probabilità che io ti dia un biscotto ogni volta che usciamo in passeggiata, vuol dire che riceverai in media un biscotto ogni due passeggiate. E siccome usciamo in passeggiata due volte al giorno, in un anno riceverai in media 365 biscotti. Ma magari non proprio uno al giorno, che un giorno potresti riceverne due (Oliver sbava) e un altro nessuno (tristezza negli occhi). Adesso diciamo - ma solo per scherzo, eh! - che la probabilità che io ti dia un biscotto durante una passeggiata sia 10^{-20} (Oliver - che conosce bene la notazione esponenziale - impallidisce, lo vedo persino sotto il pelo): cosa vorrebbe dire? “Un cane salsiccio meticcio longevo come me ha un’aspettativa di vita di 20 anni: se conto due passeggiate al giorno fanno 7300 passeggiate nella vita: non avrei mai nessun biscotto. E nemmeno se uscissi dieci volte al giorno!”. Beh, sono sicuro che adesso capisci: questa è la migliore definizione di “mai” che la scienza possa dare! Un evento estremamente improbabile ha una probabilità piccolissima, sebbene diversa da zero: l’inverso della probabilità ti dice quante volte dovresti “tirare il dado” (o uscire in passeggiata, o far sbattere un protone contro l’altro) per far avvenire almeno una volta (in media) quell’evento. Se questo numero è enormemente più grande delle tue possibilità di tirare il dado (o di uscire in passeggiata nella tua vita, o di far sbattere un protone contro l’altro nell’arco della vita di tutto l’Universo), allora puoi rilassarti e dirti che l’evento non avverrà “mai”. Pur continuando ad essere (pochissimamente) probabile!

Rincariamo la dose: esiste una probabilità che io e te, adesso mentre passeggiamo, transitiamo per un fenomeno che si chiama tunnel quantistico nel centro della terra e moriamo di una morte orribile. Diciamo, approssimando, che la probabilità sia circa di 10^{-500}. Il suo inverso, contato in numero di interazioni tra atomi, è maggiore (e di molto!) dell’età dell’universo. E infatti nessun uomo e nessun cane si preoccupa che un tale evento possa accadere!

Ma qui arriva la seconda cosa di cui ti devo parlare. I biscotti in passeggiata o il tunnel quantistico degli atomi sono eventi che conosciamo e abbiamo osservato: sappiamo calcolarne la probabilità. Ma come facciamo per gli eventi che non sono mai accaduti? Come i buchi neri prodotti da LHC, o l’apparizione di draghi ferocissimi da un’altra dimensione nella tua cuccia quando vai a dormire? Semplice: non possiamo! Non è possibile calcolare una probabilità per un evento che non è mai accaduto. Quello che possiamo fare però è una cosa molto comune nella scienza: possiamo mettere dei limiti, ovvero possiamo dire che un certo evento mai osservato, se dovesse esiste, ha una probabilità di accadere inferiore a una certo valore. Come faccio il calcolo?  Per esempio, potrei contare quante volte nella storia della terra i cani sono andati a dormire nella loro cuccia, e i draghi ferocissimi da un’altra dimensione non sono apparsi (perché no, stai tranquillo, per adesso non è mai accaduto). La probabilità dell’evento-draghi sarà inferiore all’inverso di questo numero. “Che è un numero grande!” - guaisce Oliver, che ormai ha capito l’antifona, dunque una probabilità piccola, dunque… E per esempio puoi calcolare quante interazioni tra due protoni di energia simile a quella delle collisioni di LHC sono avvenute in natura dall’inizio dell’universo: è di nuovo un numero molto grande. E siccome non abbiamo avuto buchi neri catastrofici o draghi che abbiano inghiottito l’universo, puoi mettere un limite superiore alla probabilità di questi eventi, e confrontarla con il numero di collisioni che avverranno a LHC. Che è la migliore approssimazione di “non accadrà mai a LHC” che puoi dare. Soddisfatto?

Oliver sembra decisamente più sereno di quando siamo usciti di casa. Di colpo si ferma, si siede e gonfia il petto: “Se dovessimo finire nel centro della terra per quel tunnel-quanto-non-mi-ricordo-bene, io sarei fiero di morire al tuo fianco! Posso avere un biscotto, adesso?”.

E’ passata la buriana Settembre 30, 2008

Inviato da Marco in : Comunicazione, Divulgazione, Fisica, Scienza e dintorni, Vita di frontiera , 69 commenti

Uff, sono passate 3 settimane dallo startup di LHC, e una decina di giorni dall’incidente nel settore 34. Dopo l’indigestione di contatti di inizio mese, le cose sembrano essersi normalizzate: i visitatori di queste paginette sono rientrati a un livello normale, come vedete dallo zoom del grafico delle statistiche degli accessi di settembre. Grazie al cielo :-) Un po’ di persone che sono approdate da queste parti proprio intorno al 10 settembre sembrano essere rimaste in zona, in modo più o meno silenzioso: un benvenuto ufficiale a tutti. E un piccolo avvertimento: scordatevi che parli di continuo di fisica. Di continuo non ce la faccio, e di fisica non ho sempre voglia (ehi, io quella roba la faccio di lavoro!).

E poi, diciamocelo, ci sono un sacco di altri interessantissimi argomenti di cui può essere piacevole chiacchierare, come mi faceva notare qualche lettore della prima ora. Per esempio, qualcuno sa per caso come si uccide velocemente una pianta di bambù senza che il proprietario se ne accorga, e senza che gli altri vegetali nei dintorni ne soffrano? Perché il bambù del nostro vicino ci sta invadendo il giardino - salta fuori da sotto la siepe, come nel giorno dei trifidi! - e io me lo sogno di notte (e no, non ho ancora trovato il tempo, la voglia, il coraggio e soprattutto il vocabolario francese per andargli a esporre i miei timori… forse qualcosa come Excusez moi, pourriez vous exterminer votre bambou jusqu’à la racine, SVP? Je vous prie d’agréer mes salutations distinguées? Non so…).

Tornando alla fisica, nei commenti si accumulano domande e richieste di spiegazioni che solleticano il mio spirito didattico. Siccome ultimamente non ho tantissimo tempo per passeggiare con Oliver (che, come gli affezionati sanno, è mooolto geloso di Giulia), ho bisogno di fare un po’ di selezione per le nostre prossime chiacchierate. E siccome sono un geek nel profondo (e anche in superficie), voilà il mio primo sondaggio, giusto per vedere come funziona. Fatemi sapere.

Update [10 Ottobre 2008]: 130 votanti - un voto è mio, tanto per provare il sistema - mi sembrano abbastanza (ehi, mica me ne aspettavo così tanti!) e le tendenze mi sembrano chiare. Sondaggio chiuso, grazie a chi ha partecipato. La statistica degli eventi improbabili spiegata a Oliver è l’argomento della nostra ultima passeggiata, nel futuro vedremo di chiacchierate di materia e antimateria, che tra l’altro i Nobel per la fisica 2008 cascano a pennello. Riverenze e ossequi.

Un caffè con l’Oca Settembre 29, 2008

Inviato da Marco in : Comunicazione, Divulgazione, Fisica, LHC, Scienza e dintorni, Vita di frontiera , 24 commenti

Giovedì scorso Sylvie Coyaud, l’Oca sapiens, è passata al CERN a vedere di persona come stanno le cose. Tra gli altri, a Sylvie è saltato in mente di venire a conoscere di persona il sempre vostro, abbiamo bevuto insieme uno dei pessimi caffè del building 40 (poveretta! Mi scuso ancora…) e chiacchierato piacevolmente per un’oretta. Sylvie ha raccontato la sua visita nell’inserto culturale de Il Sole 24 Ore di ieri, domenica 28 settembre. Non è che qualche anima buona lì fuori ne ha per caso comprata una copia, e mi scansirebbe e manderebbe l’articolo? In rete non lo trovo. Se finite sul blog di Sylvie, date un occhio ai commenti, ci troverete qualche piccola indiscrezione in anteprima sulle ragioni del guasto a LHC. Non vi rovino la sorpresa, né ovviamente vi dirò chi ha detto cosa…

Update: grazie a Connie che mi ha mandato la scansione dell’articolo (e ricordato come può essere bella - e fredda! - Torino in autunno. Per fortuna che prevediamo di tornarci uno dei prossimi week-end: come si fa ad affrontare l’inverno senza una castagna d’india degli ippocastani del Valentino in tasca?).

Ricercatori notturni Settembre 26, 2008

Inviato da Marco in : Divulgazione, Scienza e dintorni , 3 commenti

Se stasera non sapete bene cosa fare e vi pungesse vaghezza di vedere da vicino come è fatto uno scienziato, o voleste anche solo stupire la morosa con qualcosa di diverso dalla solita quattrostagioni rinforzata seguita da Kung Fu Panda nel multisala di quartiere, allora potreste dare un’occhiata al programma della Notte dei ricercatori. Ci sono un sacco di cose interessanti in giro per l’Italia (Pacio da Roma mi segnala la notte bianca organizzata dall’INFN a Frascati, Bea a Torino presenta l’incubatore di Università e Politecnico e aspetta un mojito!) e nel resto dell’Europa. Poi magari mi raccontate come è andata (in Svizzera l’evento più vicino e a Zurigo, purtroppo)…

Update: ci sono un sacco di foto dell’evento torinese su Gravità zero.

Faremo una chiaccherata con i teorici Settembre 16, 2008

Inviato da Marco in : ATLAS, Divulgazione, Fisica, LHC, Nomadismo, Nuvole parlanti, Scienza e dintorni , 104 commenti

Il titolo del post è un puro pretesto. Nel caso ve lo foste perso, PhD ha appena pubblicato una serie di strisce sul CERN, LHC e ATLAS (Jorge è passato da Ginevra prima dell’estate, e lo abbiamo portato un po’ in giro) in cinque puntate: qui, qui, qui, qui e qui.

Per i lettori affamativi di notizie fresche e gossip: da ieri (e fino a domani) sono ad Amburgo per questo workshop. Siamo qui a discutere come raccogliere, ricostruire e calibrare i dati di elettroni e fotoni prodotti in ATLAS nel modo più efficiente non appena avremo le prime collisioni. Le quali potrebbero arrivare già verso la fine del mese (a 900 GeV, per i 10 TeV credo aspetteremo più o meno fino a Novembre). Cosa ci facciamo ad Amburgo proprio in questi giorni così concitati? Beh, in effetti la data del workshop è stata scelta tempo fa, quando non molti credevano che lo startup di LHC sarebbe andato così bene. Amen (beh, qualcuno è rimasto a casa a sorvegliare ATLAS e LHC di persona!).

A proposito di LHC: già nella giornata di venerdì abbiamo avuto il fascio 1 che ha circolato per 25 minuti di fila (compito a casa per gli amanti delle cifre: quanti giri dell’acceleratore fa un pacchetto di protoni in 25 minuti?). La notizia è interessante, perché se per far fare qualche giro di LHC (diciamo fino a una decina) ai protoni basta iniettarli e tenerli sulla giusta traiettoria, per insistere per un tempo più lungo è necessario “acchiapparli” con le camere a radiofrequenza (quelle responsabili dell’accelerazione) e cominciare a dare loro dei colpetti: a forza di girare infatti perdono energia e, anche senza volerli accelerare, qualche calcio è necessario solo per mantenerli alla velocità di crociera. Il fatto di essere riusciti in questo processo detto di RF-lock (”aggancio con la radiofrequenza”) é un bel passo avanti: si tratta del primo passaggio verso l’accelerazione. A margine: da lunedì abbiamo solo piccole prove tecniche di circolazione nei singoli settori, perché c’è un trasformatore in manutenzione al Punto 8. Il fascio dovrebbe tornare a fare giri completi da domani.

Ah, e io devo parlare al workshop dopo la pausa caffè. Sparisco.

La verifica di fine giornata Settembre 10, 2008

Inviato da Marco in : Divulgazione, Fisica, Politiche della ricerca, Scienza e dintorni, Tentazioni metafisiche , 81 commenti

Giornata campale oggi. Essendomi venuta la splendida idea di bloggare lo startup di LHC dal di dentro, ho incrementato miracolosamente il numero di accessi a queste paginette (e ridotto pericolosamente il tempo dedicato alle cose serie), il che la dice lunga sul potere - benigno  e maligno - della rete. Sono successe cose a limite del credibile, alla fine c’era gente che si scambiava gli indirizzi nei commenti! Gente, se finisce che vi sposate voglio una bomboniera, neh? :-)

A parte la valanga di complimenti (grazie a tutti, sul serio. Non sono sicuro di meritare), le minacce a Oliver (nell’acceleratore con gli occhialoni? Perché no? Visto come sta diventando indisciplinato gli starebbe bene) e i dettagli tecnici, nei numerosissimi commenti ai post di questi giorni ci sono domande a cui mi piacerebbe riuscire a rispondere, discorsi interessanti che andrebbero continuati, e provocazioni che meriterebbero un po’ di tempo (e in certi casi anche un po’ di nerbate sulla schiena).

Prima di collassare dalla stanchezza provo a riassumere e organizzare, più che altro per mettere ordine tra le idee (ovvero, non vi aspettate un post domani!):

P.S. mi rendo conto che il titolo del post è estremamente scout. Ci sono abitudini che è difficile perdere.